Скрытый момент импульса двумерного осциллятора

В предыдущем листке рассматривался изотропный двумерный гармонический осциллятор с операторами $(a_x,a_x^\dagger)$ и $(a_y,a_y^\dagger)$. Были введены линейные комбинации

$$\begin{aligned}a_L&=\frac1{\sqrt2}(a_x+ia_y),\\a_R&=\frac1{\sqrt2}(a_x-ia_y)\end{aligned}$$

и определения

$$N_L=a_L^\dagger a_L,\qquad N_R=a_R^\dagger a_R.$$

Гамильтониан $H$ и момент импульса $L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x$ имеют вид

$$\begin{aligned}H&=\hbar\omega(N_R+N_L+1)\\&=\hbar\omega(a_R^\dagger a_R+a_L^\dagger a_L+1),\\L_z&=\hbar(N_R-N_L)\\&=\hbar(a_R^\dagger a_R-a_L^\dagger a_L).\end{aligned}$$

Покажите, что здесь есть «скрытая» трёхмерная алгебра момента импульса. Определим операторы

$$\begin{aligned}J_z&=\alpha L_z=\alpha\hbar(N_R-N_L),\\J_+&=\beta\hbar a_R^\dagger a_L,\\J_-&=\beta\hbar a_L^\dagger a_R,\end{aligned}$$

где $\alpha$ и $\beta$ — вещественные постоянные, которые нужно определить. Как и требуется, $J_+^\dagger=J_-$.

(a) Определите $\alpha$ и $\beta$ из условия, что эти операторы удовлетворяют алгебре момента импульса.

(b) Покажите, что все $J_i$ коммутируют с гамильтонианом, то есть сохраняются.

(c) Этому моменту импульса соответствуют состояния $|j,m\rangle$ с $J^2=\hbar^2j(j+1)$ и $J_z=\hbar m$. Покажите, что $(a_R^\dagger)^n|0\rangle$ — состояние $|j,m\rangle$ с $j=m=n/2$.

(d) Опишите весь спектр состояний двумерного осциллятора через представления «скрытого» момента импульса.

(e) Объясните, почему, оглядываясь на результат, постоянная $\alpha$ не могла равняться единице. Скрытый момент импульса действительно хорошо спрятан!