Скалярное и векторное произведения при вращениях

Пусть $\mathbf u$ и $\mathbf v$ — векторные операторы относительно вращений. Покажите, что их скалярное произведение — скаляр, то есть коммутирует со всеми $\hat L_i$, а их векторное произведение — вектор:

$$\begin{aligned}[\hat L_i,\mathbf u\cdot\mathbf v]&=0,\\{}[\hat L_i,(\mathbf u\times\mathbf v)_j]&=i\hbar\epsilon_{ijk}(\mathbf u\times\mathbf v)_k.\end{aligned}\tag{1.46}$$

Докажите эти соотношения.

Контекст из того же конспекта:

Определение векторных операторов относительно вращений:

$$\begin{aligned}[\hat L_i,\hat u_j]&=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat u_k,\\{}[\hat L_i,\hat v_j]&=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat v_k.\end{aligned}$$

Здесь $\hat L_i$ — операторы момента импульса. Произведения определены как $\mathbf a\cdot\mathbf b=a_i b_i$, $(\mathbf a\times\mathbf b)_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k$. По повторяющимся индексам ведётся суммирование от 1 до 3.