Последовательные измерения момента импульса ℓ=1

Обобщите анализ опытов Штерна—Герлаха для двухуровневой системы со спином ½ на трёхуровневую систему со спином 1.

Известно, что квантовая частица имеет момент импульса $\ell=1$.

(a) Возьмите за базис собственные состояния $L^2$ и $L_3$, обозначив их $|\ell,m\rangle=|1,m\rangle$. Найдите матричные представления операторов $L^2$, $L_+$, $L_-$, $L_1$, $L_2$, $L_3$ в этом трёхмерном подпространстве.

Указание: известно действие $L_3$ и $L_\pm$ на состояния $|1,m\rangle$.

(b) Убедитесь, что полученные матрицы удовлетворяют коммутатору $[L_1,L_2]=i\hbar L_3$.

(c) Найдите собственные состояния $L_1$, то есть $|1,m_1\rangle$ при $m_1=1,0,-1$, как суперпозиции собственных состояний $L_3$.

Указание: рассмотрите собственные векторы матрицы $L_1$ в базисе $|1,m\rangle$.

(d) Частица находится в состоянии $|1,m_1=1\rangle$. Измеряют компоненту $L_3$ её момента импульса. Каковы возможные результаты и их вероятности?

(e) У частицы в состоянии $|1,m_1=1\rangle$ измеряют $L_3$ и получают $m_3=-1$. Сразу после этого измеряют $L_1$. Объясните, какие результаты возможны и с какими вероятностями. Предположим, измерено $m_1=-1$, после чего снова измеряют $L_3$. Каковы возможные результаты и их вероятности?