Факторизация гамильтониана водорода

Рассмотрите гамильтониан атома водорода:

$$H=\frac{\vec p^{\,2}}{2m}-\frac{e^2}{r}.$$

Запишем его в виде

$$H=\gamma+\frac1{2m}\sum_{k=1}^3\left(\hat p_k+i\beta\frac{\hat x_k}r\right)\left(\hat p_k-i\beta\frac{\hat x_k}r\right),$$

где $\hat p_k$ и $\hat x_k$ — декартовы компоненты операторов импульса и координаты, а $\beta$, $\gamma$ — вещественные постоянные, которые нужно выбрать так, чтобы оба выражения для гамильтониана совпадали.

(a) Вычислите $\beta$ и $\gamma$. Выразите их через $e^2$, боровский радиус $a_0$ и другие постоянные.

(b) Объясните, почему для любого состояния $\langle H\rangle\geq\gamma$. Найдите волновую функцию состояния, в котором это неравенство обращается в равенство. Это основное состояние водорода. Приведите нормированную волновую функцию.