Конечная сферическая яма и точечный потенциал

Частица массы $m$ находится в сферической потенциальной яме конечной глубины с радиусом $a$:

$$V(r)=\begin{cases}-V_0,&r<a,\\0,&r>a,\end{cases}$$

где $V_0>0$ имеет размерность энергии. Для параметров $m$, $a$, $\hbar$ естественный масштаб энергии равен $\hbar^2/(2ma^2)$. Для удобства запишем

$$V_0=v_0^2\frac{\hbar^2}{2ma^2},$$

где безразмерное $v_0>0$ задаёт глубину потенциала относительно этого масштаба. Чем больше $v_0$, тем глубже яма.

(a) Чтобы существовали связанные состояния, яма должна быть достаточно глубокой. Покажите, что пороговое значение $v_0=\pi/2$. Указание: на пороге появления связанного состояния энергия низшего состояния с $\ell=0$ практически равна нулю.

(b) Рассмотрите общую задачу о связанных состояниях с $\ell=0$ при достаточно большом $V_0$. Запишите собственные значения энергии как

$$E=-e^2\frac{\hbar^2}{2ma^2},$$

где безразмерные постоянные $e>0$ задают энергию относительно естественного масштаба. Покажите, что собственные значения определяются уравнениями

$$\begin{aligned}\eta^2+e^2&=v_0^2,\\-\eta\cot\eta&=e,\end{aligned}\tag{1}$$

где нужно ввести безразмерную постоянную $\eta>0$.

(c) Проанализируйте эти уравнения графически, откладывая $\eta$ по горизонтали, а $e$ по вертикали. Изобразите кривые второго уравнения и несколько характерных кривых первого для разных $v_0$. Подтвердите результат (a): при $v_0<\pi/2$ решений нет. Теперь считайте $v_0$ большим. Покажите, что для малых целых $n$ энергии низших связанных состояний равны

$$E=-V_0+(n\pi)^2\frac{\hbar^2}{2ma^2}.$$

При $n=1$ найдите более точное приближение, включив первую нетривиальную поправку, исчезающую при $v_0\to\infty$.

(d) Рассмотрите точечный дельта-потенциал

$$V(r)=-\frac{4\pi}3(V_0L^3)\delta^{(3)}(\mathbf r),$$

где $V_0>0$ имеет размерность энергии, а $L$ — длины. Решить задачу непросто, поэтому регуляризуем её, заменив потенциал на

$$V_a(r)=\begin{cases}-V_0(L/a)^3,&r<a,\\0,&r>a.\end{cases}$$

Параметр регуляризации $a$ не является параметром теории: он введён для представления дельта-функции. Проверьте, что $\int d^3x\,V(r)=\int d^3x\,V_a(r)$, то есть при $a\to0$ получается корректное представление дельта-функции.

При успешной регуляризации энергии связанных состояний в пределе $a\to0$ должны были бы не зависеть от искусственного параметра $a$. Покажите, что здесь это не так.

Другой способ выявить серьёзную проблему — анализ размерностей. Параметры теории: $\hbar$, $m$ и величина $V_0L^3$, а не $V_0$ и $L$ по отдельности. С помощью размерностей постройте «естественную» энергию связанных состояний и объясните, почему результат абсурден.