Радиальная волновая функция в потенциале Юкавы

Частица массы $m$ движется в притягивающем потенциале Юкавы $V(r)=-ge^{-\alpha r}/r$.

(a) Запишите уравнение Шрёдингера для радиальной волновой функции $u(r)$. Введите безразмерную радиальную переменную $x\equiv\alpha r$ и приведите уравнение к виду

$$\left[-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{\ell(\ell+1)}{x^2}-g'\frac{e^{-x}}x\right]u(x)=\lambda u(x).$$

Каков эффективный потенциал $V_{\mathrm{eff}}(x)$ масштабированного уравнения? Свяжите $\lambda$ и $g'$ с исходными параметрами задачи.

(b) Графически покажите, что при любом $\ell\neq0$ параметр $g'$ можно выбрать так, чтобы эффективный потенциал либо не имел связанных состояний, либо имел их много. Существование и число связанных состояний определяются совместным действием $V(r)$ и центробежного барьера $\hbar^2\ell(\ell+1)/(2mr^2)$.

(c) Пусть параметры таковы, что при $\ell=2$ есть четыре различных связанных энергетических уровня. Как можно точнее изобразите волновую функцию второго по глубине связанного уровня при $\ell=2$. Не решайте уравнение Шрёдингера численно: используйте физическое понимание его решений. Укажите поведение при $x\to0$ и $x\to\infty$, правильное число узлов и относительную величину волновой функции при малых, промежуточных и больших $x$.