Сверхтонкая структура водорода в магнитном поле

В магнитном поле величины $B$, направленном вдоль оси $z$, гамильтониан атома водорода для основного состояния со сверхтонким расщеплением содержит дополнительные члены

$$H'=\frac{2\epsilon}{\hbar}(\mathbf S_e)_z+\frac{4\epsilon'}{\hbar^2}\mathbf S_e\cdot\mathbf S_p.\tag{1}$$

Здесь $\mathbf S_e$ и $\mathbf S_p$ — спины электрона и протона, $\epsilon$, $\epsilon'$ — положительные постоянные с размерностью энергии. В частности, $\epsilon=\mu_BB$.

В задаче естественны два базиса. В несвязанном базисе $|m_e,m_p\rangle$ первое число относится к электрону, второе — к протону:

$$\begin{aligned}|1\rangle&=|\uparrow\uparrow\rangle,&|2\rangle&=|\uparrow\downarrow\rangle,\\|3\rangle&=|\downarrow\uparrow\rangle,&|4\rangle&=|\downarrow\downarrow\rangle.\end{aligned}\tag{2}$$

Связанный базис $|jm\rangle$ состоит из собственных состояний $J^2$ и $J_z$, где $\mathbf J=\mathbf S_e+\mathbf S_p$:

$$\begin{aligned}|1\rangle&=|1,1\rangle,&|2\rangle&=|1,0\rangle,\\|3\rangle&=|1,-1\rangle,&|4\rangle&=|0,0\rangle.\end{aligned}\tag{3}$$

(a) Найдите матричные элементы $H'$ в несвязанном базисе. Вычислите собственные значения энергии и собственные векторы.

(b) Найдите матричные элементы $H'$ в связанном базисе. Вычислите собственные значения энергии и собственные векторы.

(c) Изобразите собственные значения энергии как функции магнитного поля. Какой базис удобнее при слабом поле, а какой — при сильном?

(d) При слабом поле $B$ найдите собственные значения энергии и собственные состояния с точностью до первого порядка по $B$. Нормировать собственные состояния не требуется.