Сохранение квантового вектора Рунге—Ленца

Для гамильтониана атома водорода

$$H=\frac{\mathbf p^2}{2m}-\frac{e^2}r$$

существует сохраняющийся вектор Рунге—Ленца:

$$\mathbf R\equiv\frac1{2m}(\mathbf p\times\mathbf L-\mathbf L\times\mathbf p)-\frac{e^2}r\mathbf r.$$

Это эрмитов оператор. Покажите, что $\mathbf R$ действительно сохраняется:

$$[\mathbf R,H]=0.\tag{1}$$

Чтобы вычисления не стали громоздкими и результат (1) выглядел менее случайным, сначала выполните несколько общих вычислений.

(a) Докажите тождество коммутатора для произвольной функции $f(r)$:

$$\begin{aligned}[\mathbf p^2,f(r)\mathbf r]&=\frac\hbar i\\&\quad\cdot\Bigl[(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r\frac{f'(r)}r\\&\qquad+\frac{f'(r)}r\mathbf r(\mathbf r\cdot\mathbf p)\\&\qquad+\mathbf p f(r)+f(r)\mathbf p\Bigr].\end{aligned}\tag{2}$$

Объясните, почему оператор в скобках справа эрмитов. Как это согласуется с тем, что слева стоит коммутатор двух эрмитовых операторов?

(b) Вычислите коммутатор

$$[\mathbf p\times\mathbf L-\mathbf L\times\mathbf p,f(r)]=\frac\hbar i(\ldots\quad\ldots).\tag{2}$$

Ваша цель — получить в скобках эрмитов оператор, по структуре аналогичный оператору в (2).

(c) Попробуйте обобщить задачу, положив

$$\begin{aligned}H_f&\equiv\frac{\mathbf p^2}{2m}-f(r),\\\mathbf R_f&\equiv\frac1{2m}(\mathbf p\times\mathbf L-\mathbf L\times\mathbf p)-f(r)\mathbf r.\end{aligned}$$

Вычислите $[H_f,\mathbf R_f]$ с помощью (a) и (b). Покажите, что коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда

$$rf'(r)=-f(r).$$

Убедитесь, что единственное семейство решений — $f(r)=c/r$ с произвольной постоянной $c$.