Квадрат квантового вектора Рунге—Ленца

Удобно изменить масштаб вектора Рунге—Ленца, сделав его безразмерным. Поэтому положим

$$\mathbf R\equiv\frac1{2me^2}(\mathbf p\times\mathbf L-\mathbf L\times\mathbf p)-\frac{\mathbf r}r.$$

Проверьте, что его также можно записать в виде

$$\begin{aligned}\mathbf R&=\frac1{me^2}(\mathbf p\times\mathbf L-i\hbar\mathbf p)-\frac{\mathbf r}r,\\&=\frac1{me^2}(-\mathbf L\times\mathbf p+i\hbar\mathbf p)-\frac{\mathbf r}r.\end{aligned}$$

Нужно вычислить $\mathbf R^2$:

$$\begin{aligned}\mathbf R^2&=\left[\frac1{me^2}(-\mathbf L\times\mathbf p+i\hbar\mathbf p)-\frac{\mathbf r}r\right]\\&\quad\cdot\left[\frac1{me^2}(\mathbf p\times\mathbf L-i\hbar\mathbf p)-\frac{\mathbf r}r\right].\end{aligned}$$

Для упрощения вычислений сначала докажите тождества:

$$\begin{aligned}(\mathbf L\times\mathbf p)\cdot\mathbf r&=-\mathbf L^2,\\i\hbar\left(\mathbf p\cdot\frac{\mathbf r}r-\frac{\mathbf r}r\cdot\mathbf p\right)&=\frac{2\hbar^2}r,\\(\mathbf L\times\mathbf p)\cdot(\mathbf p\times\mathbf L)&=-\mathbf p^2\mathbf L^2.\end{aligned}$$

Затем покажите, что

$$\mathbf R^2=1+\frac2{me^4}H(\mathbf L^2+\hbar^2).$$