Сложение орбитального момента и спина ½

Рассмотрите два момента импульса $\mathbf J_1$ и $\mathbf J_2$ и тензорное произведение состояний с $j_1=\ell$ и $j_2=1/2$. Определим $\mathbf J=\mathbf J_1+\mathbf J_2$. Выведите формулу для состояния связанного базиса

$$\left|j=\ell+\frac12,\ m=M+\frac12\right\rangle,$$

где $M$ — целое число в диапазоне $-\ell-1\leq M\leq\ell$, как подходящей суперпозиции несвязанных состояний $|j_1j_2;m_1,m_2\rangle$. Общая формула должна давать известные результаты при $M=\ell$ и $M=-\ell-1$. Поскольку $M$ произвольно, последовательное использование повышающих или понижающих операторов не подходит. Указание: используйте $J^2$. Решение также можно посмотреть у Шанкара на с. 414.