Гамильтониан трёх взаимодействующих спинов 1

Рассмотрите три различимые частицы со спином 1, обозначенные 1, 2, 3, с операторами спина $\mathbf S_1$, $\mathbf S_2$, $\mathbf S_3$. Спины расположены по окружности и взаимодействуют с ближайшими соседями. Гамильтониан:

$$H=\frac{\Delta}{\hbar^2}(\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2+\mathbf S_2\cdot\mathbf S_3+\mathbf S_3\cdot\mathbf S_1),$$

где $\Delta>0$ — постоянная с размерностью энергии. Полезно рассмотреть оператор полного спина $\mathbf S=\mathbf S_1+\mathbf S_2+\mathbf S_3$.

(a) Какова размерность пространства состояний трёх частиц? Запишите гамильтониан через квадраты операторов спина.

(b) Найдите собственные значения энергии $H$ и их кратности вырождения.

(c) Вычислите основное состояние как суперпозицию состояний вида

$$|m_1,m_2,m_3\rangle\equiv|1,m_1\rangle\otimes|1,m_2\rangle\otimes|1,m_3\rangle,$$

где $\hbar m_i$ — собственное значение $(S_z)_i$, наложив подходящее ограничение.

Указание: общая суперпозиция с произвольными коэффициентами включает семь возможных состояний. Покажите, что коэффициент при $|0,0,0\rangle$ равен нулю, и найдите все остальные. Запишите ответ как нормированное состояние.