Вариационная оценка в двухъямном потенциале

Одномерная система с гамильтонианом $\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x)$ описывается выражением

$$\begin{aligned}\hat H&=\frac{\hat p^2}{2m}+\hbar\omega-\frac{m\omega^2}2\hat x^2\\&\quad+\frac{m^2\omega^3}{16\hbar}\hat x^4\\&=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m^2\omega^3}{16\hbar}\left(\hat x^2-\frac{4\hbar}{m\omega}\right)^2,\end{aligned}$$

где $\omega>0$. Естественный масштаб длины $d_0$ задан соотношением

$$d_0^2=\frac{\hbar}{m\omega}.$$

(a) Изобразите потенциал $V(x)$, точно указав положения локальных максимумов и минимумов и значения потенциала в них.

(b) Для пробной волновой функции

$$\psi(x)=xe^{-x^2/(2\lambda^2)}$$

среднее значение энергии равно

$$E(\lambda)=\hbar\omega-\frac34m\omega^2\lambda^2+A\lambda^4+\frac{3\hbar^2}{4m}\frac1{\lambda^2}.$$

Завершите вычисление, найдя $A$ через $\hbar$, $m$, $\omega$. Среднее кинетической энергии — последний член — и часть среднего потенциала уже вычислены; заново их не пересчитывайте.

(c) Чтобы убрать размерности, положите $\lambda^2=d_0^2\eta^2$, где $\eta$ безразмерно, а $d_0$ определено выше. Запишите $E$ как функцию $\eta$, восстановив член на месте многоточия:

$$E(\eta)=\hbar\omega\left(1-\frac34\eta^2+\ldots+\frac34\frac1{\eta^2}\right).$$

Найдите $\eta$, минимизирующее $E(\eta)$ без последнего члена. С помощью этого значения получите верхнюю границу $E_*$ энергии основного состояния. Объясните рассуждение.

(d) На самом деле $E_*$ даёт более строгую оценку энергии другого собственного состояния системы. Какого и почему?

Могут пригодиться интегралы:

$$\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n}e^{-u^2}\,du=c_n\sqrt\pi,$$

где $c_0=1$, $c_1=1/2$, $c_2=3/4$, $c_3=15/8$.