Неопределённости компонент спина

(a) Выведите соотношение неопределённостей для операторов $\hat S_x$ и $\hat S_y$. Для заданного состояния $|\psi\rangle$ докажите неравенство вида

$$(\Delta\hat S_x)(\Delta\hat S_y)\geq\ldots,$$

где правая часть зависит от $|\psi\rangle$.

(b) Каково минимально возможное значение $\Delta\hat S_x\Delta\hat S_y$? В каких состояниях $|\psi\rangle$ оно достигается?

(c) Каково максимально возможное значение $\Delta\hat S_i$ для любого $i=1,2,3$? Объясните.

(d) Рассмотрите произвольное спиновое состояние $|\mathbf n;+\rangle$, заданное углами $\theta$ и $\phi$. Вычислите $\Delta\hat S_x$, $\Delta\hat S_y$, $\Delta\hat S_z$. Какие состояния, согласно результату, максимизируют произведение $\Delta\hat S_x\Delta\hat S_y$? Объясните.

Контекст из справочного листа экзамена: рассматривается спин ½, $\hat S_i=\frac\hbar2\sigma_i$. Для единичного вектора $\mathbf n=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$

$$|\mathbf n;+\rangle=\cos\frac\theta2|+\rangle+\sin\frac\theta2e^{i\phi}|-\rangle,$$

где $|\pm\rangle$ — собственные состояния $\hat S_z$ с собственными значениями $\pm\hbar/2$.