Чётность, связанные состояния и поворот спина

Для каждого утверждения укажите, верно оно или неверно. Объяснения не требуются.

(1) Оператор чётности, $\hat P|x\rangle=|-x\rangle$, одновременно эрмитов и унитарен.

(2) Для собственных состояний координаты $|-x\rangle=-|x\rangle$.

(3) Любая матрица размера $N\times N$ имеет $N$ собственных векторов.

(4) Для конечномерного гильбертова пространства с $N$ уровнями энергии $E_1\leq E_2\leq\ldots\leq E_N$ неравенство $\langle\psi|H|\psi\rangle\leq E_N$ выполняется для всех нормированных пробных волновых функций $|\psi\rangle$.

Следующие три утверждения относятся к одномерной задаче Шрёдингера, $x\in(-\infty,\infty)$, с вещественным, непрерывным и конечным потенциалом $V(x)=V(-x)$, допускающим пять связанных состояний.

(5) Связанное состояние с наибольшей энергией имеет четыре узла.

(6) Пусть $\psi(x)$ — волновая функция связанного состояния. Могут существовать точки $x_0\ (\ne\infty)$, в которых одновременно обращаются в нуль $\psi$ и её пространственная производная $\psi'$.

(7) Чётное возбуждённое связанное состояние может иметь $\psi(x=0)=0$.

Следующие три утверждения относятся к оператору

$$R=\exp\left(\frac i\hbar\pi\hat S_x\right),$$

где $\hat S_x$ — оператор проекции спина на направление $x$.

(8) Оператор $R$ унитарен.

(9) Оператор $R$ диагонализируем.

(10) $R=\frac{2i}\hbar\hat S_x$.