Вариационная оценка для потенциала x в чётной степени

Частица массы $m$ движется в одном измерении в потенциале, пропорциональном $x^{2n}$:

$$V(x)=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{x^{2n}}{L^{2n+2}},\qquad n\geq2,$$

где постоянная $L$ имеет размерность длины.

(a) С помощью анализа размерностей оцените энергию основного состояния с точностью до неизвестного безразмерного множителя.

(b) Для вариационного анализа основного состояния возьмите пробную волновую функцию $\psi(x)=\exp(-b^2x^2)$; параметр $b$ подбирается для получения наилучшей оценки. Рассмотрите интегралы

$$\int_{-\infty}^{\infty}dy\,e^{-2y^2}y^{2k}=c_k,\qquad k=0,1,2,\ldots,$$

считая постоянные $c_k$ известными. Найдите функцию $F(b)$, ограничивающую энергию основного состояния:

$$E_{\mathrm{gs}}\leq F(b).$$

Минимизировать по $b$ не требуется, но упростите выражение для $F$, зависящее также от других постоянных задачи.

(c) Нарисуйте потенциал в пределе $n\to\infty$. Какой энергии основного состояния вы ожидаете? Объясните.

(d) Можно показать — доказывать это не нужно, — что для наилучшей вариационной оценки из пункта (b) при больших $n$ выполняется $bL\sim\sqrt n$. Нарисуйте ожидаемую $\psi$ и объясните, лучше или хуже она описывает ожидаемое основное состояние с ростом $n$.