Трёхмерный осциллятор в круговом базисе

Частица массы $m$ находится в трёхмерном гармоническом потенциале с вращательной симметрией:

$$\hat H=\sum_{i=1}^3\left(\frac{\hat p_i^2}{2m}+\frac12m\omega^2\hat x_i^2\right),$$

где $[\hat x_i,\hat p_j]=i\hbar\delta_{ij}$. Соответствующие операторы повышения и понижения обозначим $\hat a_i^\dagger$ и $\hat a_i$, где $i=1,2,3$; операторы числа квантов имеют вид $\hat N_i=\hat a_i^\dagger\hat a_i$. Для экономии времени можно не ставить шляпки над $a$ и $a^\dagger$.

(a) С помощью операторов $\hat a_i^\dagger$ и общего вакуумного состояния $|0\rangle$ трёх операторов $\hat a_i$ явно постройте все состояния (i) основного уровня, (ii) первого возбуждённого уровня и (iii) второго возбуждённого уровня. Укажите их энергии и кратности вырождения. Нормировать состояния не требуется.

Введём линейные комбинации

$$\hat a_L\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_1+i\hat a_2),\qquad\hat a_R\equiv\frac1{\sqrt2}(\hat a_1-i\hat a_2).$$

(b) Выразите $\hat H$ через операторы числа квантов

$$\hat N_L=\hat a_L^\dagger\hat a_L,\qquad\hat N_R=\hat a_R^\dagger\hat a_R,\qquad\hat N_3=\hat a_3^\dagger\hat a_3.$$

Объясните, почему $\{\hat N_L,\hat N_R,\hat N_3\}$ образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых. Какова энергия состояния $|n_L,n_R,n_3\rangle$?

(c) Перечислите состояния основного и первых двух возбуждённых уровней, как в пункте (a), но постройте их операторами $\hat a_L^\dagger$, $\hat a_R^\dagger$ и $\hat a_3^\dagger$.

(d) Рассмотрите оператор углового момента

$$\hat L_z\equiv\hbar(\hat a_R^\dagger\hat a_R-\hat a_L^\dagger\hat a_L)=\hbar(\hat N_R-\hat N_L).$$

Покажите, что $[\hat H,\hat L_z]=0$. Образуют ли $\hat H$ и $\hat L_z$ полный набор коммутирующих наблюдаемых? Если да, обоснуйте. Если нет, приведите пример двух вырожденных состояний, которые ими не различаются.

(e) Теперь рассмотрите оператор углового момента $\hat L_+\equiv\hat L_x+i\hat L_y$:

$$\hat L_+\equiv\sqrt2\hbar(\hat a_3^\dagger\hat a_L-\hat a_R^\dagger\hat a_3).$$

Эрмитов ли $\hat L_+$? Из состояний второго возбуждённого уровня осциллятора можно составить единственное состояние $|\psi\rangle$, которое одновременно уничтожается операторами $\hat L_z$ и $\hat L_+$: $\hat L_z|\psi\rangle=0$ и $\hat L_+|\psi\rangle=0$. Найдите его. Это единственное состояние второго возбуждённого уровня, вообще не имеющее углового момента.