Гауссова оценка энергии в линейном потенциале

Частица массы $m$ находится в потенциале

$$V(x)=V_0|x|,$$

где $V_0$ — положительная постоянная с размерностью энергии, делённой на длину.

Найдите верхнюю границу $E_0$ энергии основного состояния с помощью гауссовой пробной волновой функции

$$\psi(x)=A\exp\left(-\frac12bx^2\right),$$

подбирая параметр $b$ для наилучшей оценки. Упростите ответ до вида $E_0=c_0M^s$, где $c_0$ — безразмерное число, $M$ — выражение, содержащее степени $V_0,\hbar,m$, а $s$ — безразмерное число.

Могут пригодиться интегралы:

$$\int_{-\infty}^\infty x^2e^{-bx^2}\,dx=\frac1{2b}\sqrt{\frac\pi b},\qquad\int_{-\infty}^\infty e^{-bx^2}\,dx=\sqrt{\frac\pi b}.$$

Общая подсказка из того же экзамена:

$$\begin{aligned} &\min_{x>0}\left(\frac A{x^p}+Bx^q\right)=\\ &\quad\left(1+\frac qp\right)\left(\frac pqA\right)^{q/(p+q)}B^{p/(p+q)},\\ &p,q>0. \end{aligned}$$