Факторизация гамильтониана атома водорода

Рассмотрите гамильтониан атома водорода

$$H=\frac{\mathbf p^2}{2m}-\frac{e^2}r.$$

Представим его в виде

$$H=\frac1{2m}\sum_{i=1}^3\left(\hat p_i+i\beta\frac{\hat x_i}r\right)\left(\hat p_i-i\beta\frac{\hat x_i}r\right)+\gamma,$$

где $\hat p_i$ и $\hat x_i$ — декартовы компоненты операторов импульса и координаты; вещественные постоянные $\beta$ и $\gamma$ следует подобрать так, чтобы оба гамильтониана совпали.

(a) Вычислите постоянные $\beta$ и $\gamma$.

(b) Подробно объясните, почему для любого состояния $\langle H\rangle\geq\gamma$.

(c) Найдите волновую функцию состояния, в котором это энергетическое неравенство превращается в равенство. Можно считать, что волновая функция зависит только от радиальной координаты.