Спектр центрального поля методом факторизации

В задаче о центральном потенциале требуется найти спектры гамильтонианов $H_\ell$, где $\ell\geq0$.

Предположим, что с некоторым суперпотенциалом $W_\ell$ удалось построить гамильтонианы $H_\ell^{(1)}$ и $H_\ell^{(2)}$ так, что

$$H_\ell=H_\ell^{(1)}+\alpha_\ell,$$

где постоянные $\alpha_\ell$ известны, и

$$H_\ell^{(2)}=H_{\ell+1}^{(1)}+\beta_\ell,$$

где постоянные $\beta_\ell$ также известны. Поскольку известен суперпотенциал, известны и операторы $A_\ell$, $A_\ell^\dagger$. Наконец, пусть для каждого $\ell$ известна волновая функция $\phi_{0,\ell}^{(1)}$ состояния $H_\ell^{(1)}$ с нулевой энергией.

(a) Запишите три собственных состояния $\phi_{n,\ell}$ гамильтониана $H_\ell$ с наименьшими энергиями, $n=0,1,2$, и их энергии $E_{n,\ell}$. Выразите состояния через волновые функции нулевой энергии $H^{(1)}$ и операторы $A$ или $A^\dagger$, а энергии — через введённые постоянные $\alpha$ и $\beta$.

(b) Обобщите результат: запишите собственное состояние $\phi_{n,\ell}$ гамильтониана $H_\ell$ для произвольного $n\geq0$ и найдите его энергию $E_{n,\ell}$.

Определения метода факторизации из справочного листа экзамена:

$$H_\ell^{(1)}=A_\ell^\dagger A_\ell,\qquad H_\ell^{(2)}=A_\ell A_\ell^\dagger.$$

$$A_\ell=\frac d{dr}+W_\ell(r),\qquad A_\ell^\dagger=-\frac d{dr}+W_\ell(r).$$