Изменение неопределённости сжатого вакуума

Сжатое вакуумное состояние определяется как

$$|0_\gamma\rangle=S(\gamma)|0\rangle,\qquad S(\gamma)=\exp\left[-\frac\gamma2(\hat a^\dagger\hat a^\dagger-\hat a\hat a)\right],\qquad\gamma\in\mathbb R.$$

(a) Вычислите действие оператора сжатия $S$ на операторы координаты и импульса:

$$S^\dagger(\gamma)\hat xS(\gamma)=\ldots,$$

$$S^\dagger(\gamma)\hat pS(\gamma)=\ldots.$$

Выразите ответы через $\hat x,\hat p$ и простые функции $\gamma$.

(b) Пусть $|0_\gamma,t\rangle$ — состояние, полученное временной эволюцией сжатого вакуума $|0_\gamma\rangle$, заданного при нулевом времени. Найдите зависящую от времени неопределённость $(\Delta x(t))^2$ в этом состоянии. Представьте ответ в виде

$$(\Delta x(t))^2=\frac{\hbar}{2m\omega}G(\gamma,\omega t),$$

где $G$ — искомая безразмерная функция.

Небольшая подсказка для вычислений: $\langle0|(\hat x\hat p+\hat p\hat x)|0\rangle=0$.