Сохранение углового момента при распаде частиц

Нестабильная частица $X$ распадается на две дочерние частицы $A$ и $B$. При распаде $X\to AB$ полный угловой момент сохраняется. В системе покоя $X$ он равен спину частицы: $\mathbf J=\mathbf S_X$. После распада полный момент складывается из трёх частей:

$$\mathbf J=\mathbf S_A+\mathbf S_B+\mathbf L,$$

где $\mathbf S_A$ и $\mathbf S_B$ — спины частиц $A$ и $B$, а $\mathbf L$ — их относительный орбитальный момент. Если начальное состояние является собственным для $\mathbf J^2$ и $J_z$, закон сохранения требует, чтобы конечное состояние тоже было собственным с теми же собственными значениями.

(a) Пусть спин $X$ равен нулю, а спины $A$ и $B$ равны ½: $s_X=0$, $s_A=1/2$, $s_B=1/2$. Какие значения орбитального момента $\ell$ допускает закон сохранения?

(b) Повторите расчёт для $s_X=3/2$, $s_A=1/2$ и $s_B=1$.

(c) В некоторых процессах двухчастичный распад запрещён. Объясните, почему нейтрон $n$ не может распасться на протон $p$ и электрон $e^-$ по схеме $n\to pe^-$, хотя она согласуется с сохранением энергии и заряда. Спины протона и нейтрона равны ½. Трёхчастичный распад $n\to pe^-\bar\nu$ разрешён; $\bar\nu$ — антинейтрино со спином ½.

(d) Неизвестная частица $X$ со спином $s_X$ поляризована так, что $m_X=+s_X$. Она распадается по схеме $X\to AB$, где $s_A=1/2$, $s_B=0$, а относительный орбитальный момент $\ell$ неизвестен. Для простоты считайте, что распад даёт единственное значение $\ell$. Измерение $z$-компоненты $m_A$ спина частицы $A$ после распада даёт вероятности

$$P(m_A=1/2)=1/5,\qquad P(m_A=-1/2)=4/5.$$

Найдите $s_X$ и $\ell$. Подсказка: рассмотрите действие $J_+$ на начальное и конечное состояния.