Угловой момент из одного осциллятора

Рассмотрим алгебру углового момента, построенную с помощью одномерного гармонического осциллятора. Во всей задаче для краткости положите $\hbar=1$.

Операторы рождения и уничтожения $\hat a^\dagger$ и $\hat a$ удовлетворяют $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$; базис числа квантов имеет вид

$$|n\rangle=\frac1{\sqrt{n!}}(\hat a^\dagger)^n|0\rangle,\qquad\hat N|n\rangle\equiv\hat a^\dagger\hat a|n\rangle=n|n\rangle.$$

(a) Для положительного целого $j$ определите

$$J_z=-j+\hat N,\qquad J_+=\hat a^\dagger\sqrt{2j-\hat N},\qquad J_-=J_+^\dagger=\sqrt{2j-\hat N}\,\hat a.$$

Проверьте, что эти операторы задают алгебру углового момента. Раскладывать квадратные корни при вычислениях не должно потребоваться. Операторы определены только на состояниях, для которых подкоренное выражение неотрицательно.

(b) Постройте соответствующий оператор $\mathbf J^2$. Выполняются ли правильные коммутационные соотношения с операторами $J_i$?

(c) Найдите подмножество базисных состояний осциллятора $|n\rangle$, $n=0,1,2,\ldots$, образующее мультиплет $\mathbf J$ с угловым моментом $j$. Явно выразите состояния $|j,m\rangle$ через состояния осцилляторного базиса. Проверьте ожидаемое действие $J_z$ и $J_+$ на эти состояния.

(d) Коммутируют ли операторы пункта (a) с гамильтонианом осциллятора $H=\hat N+\frac12$? Объясните.