Возникновение запутанности при взаимодействии спинов

Две частицы со спином ½ взаимодействуют посредством гамильтониана

$$H=\hbar\omega\,\sigma_3\otimes\sigma_3,$$

где $\omega$ имеет размерность частоты. Будем использовать два базиса состояний пары. Для одной частицы, как обычно, положим $|+\rangle\equiv|z;+\rangle$ и $|-\rangle\equiv|z;-\rangle$. Обозначим через $|x;\pm\rangle$ собственные состояния $\sigma_1$ со значениями $\pm1$ и соглашением о фазах

$$|x;+\rangle\equiv\frac{|+\rangle+|-\rangle}{\sqrt2},\qquad|x;-\rangle\equiv\frac{|+\rangle-|-\rangle}{\sqrt2}.$$

Для двух частиц определим базис $Z$:

$$|1\rangle=|++\rangle,\quad|2\rangle=|+-\rangle,\quad|3\rangle=|-+\rangle,\quad|4\rangle=|--\rangle,$$

где $|++\rangle\equiv|+\rangle\otimes|+\rangle$ и аналогично для остальных состояний.

(a) Запишите матрицы $H$ и $\exp(-iHt/\hbar)$ в базисе $Z$.

(b) Вычислите $e^{-iHt/\hbar}|x;+\rangle\otimes|x;+\rangle$ в базисе $Z$. При каких $t$ это состояние не запутано?

(c) Выражение

$$e^{i(K\otimes\mathbf1+\mathbf1\otimes K)}$$

можно представить как тензорное произведение двух операторов. Найдите их.

(d) Пусть дано состояние

$$|\psi\rangle\equiv\alpha|x;+\rangle\otimes|x;+\rangle+\beta|x;-\rangle\otimes|x;-\rangle,\qquad\alpha,\beta\in\mathbb C.$$

Требуется перевести его в состояние

$$|\psi'\rangle\equiv\alpha|++\rangle+\beta|--\rangle$$

с помощью гамильтониана вида

$$H'=H_0\otimes\mathbf1+\mathbf1\otimes H_0.$$

Нужно обеспечить $e^{-iH't'/\hbar}|\psi\rangle=|\psi'\rangle$ при некоторых $H_0$ и $t'$. Для краткости определим $K\equiv-H_0t'/\hbar$. Покажите, что тогда $K$ должен удовлетворять

$$e^{i(K\otimes\mathbf1+\mathbf1\otimes K)}|\psi\rangle=|\psi'\rangle.$$

Найдите $K$ и обоснуйте ответ.