Преобразование Фурье меняет сдвиг и фазу

Определим оператор Фурье

$$F|j\rangle=\frac1{\sqrt d}\sum_{k=0}^{d-1}e^{2\pi ijk/d}|k\rangle.$$

Покажите $FX(x)F^\dagger=Z(x)$ и $FZ(z)F^\dagger=X(-z)$.

Кудит имеет ортонормированный базис $\{|j\rangle\}_{j=0}^{d-1}$. Сложение $\oplus$ выполняется по модулю $d$. Определены операторы

$$X(x)|j\rangle=|j\oplus x\rangle,$$

$$Z(z)|j\rangle=e^{2\pi izj/d}|j\rangle.$$