Средний исход измерения в базисе Фурье

Пусть $|\psi\rangle=\sum_{j=0}^{d-1}\alpha_j|j\rangle$, где $\sum_j|\alpha_j|^2=1$. Наблюдаемая $M_{X(1)}$ имеет собственные векторы $|\widetilde j\rangle$ и соответствующие числовые исходы $j$. Покажите

$$\mathbb E[M_{X(1)}]=\frac1d\sum_{j=0}^{d-1}j\left|\sum_{k=0}^{d-1}\alpha_ke^{-2\pi ikj/d}\right|^2.$$

Подсказка: сначала разложите $|\psi\rangle$ по базису $|\widetilde l\rangle$.

$$|\widetilde l\rangle=\frac1{\sqrt d}\sum_{j=0}^{d-1}e^{2\pi ilj/d}|j\rangle.$$