Полный базис Белла для двух кудитов

Определим

$$|\Phi\rangle=\frac1{\sqrt d}\sum_{j=0}^{d-1}|j\rangle_A|j\rangle_B,$$

$$|\Phi^{x,z}\rangle=(X_A(x)Z_A(z)\otimes I_B)|\Phi\rangle.$$

Покажите для $x,z\in\{0,\ldots,d-1\}$:

$$\langle\Phi^{x_1,z_1}|\Phi^{x_2,z_2}\rangle=\delta_{x_1x_2}\delta_{z_1z_2},$$

$$\sum_{x,z=0}^{d-1}|\Phi^{x,z}\rangle\langle\Phi^{x,z}|=I_{AB}.$$

Кудит имеет ортонормированный базис $\{|j\rangle\}_{j=0}^{d-1}$. Сложение $\oplus$ выполняется по модулю $d$. Определены операторы

$$X(x)|j\rangle=|j\oplus x\rangle,$$

$$Z(z)|j\rangle=e^{2\pi izj/d}|j\rangle.$$