Ортонормированность базиса Шмидта

В доказательстве разложения Шмидта для системы $A$ определены векторы

$$|i\rangle_A=\sum_{j=0}^{d_A-1}u_{j,i}|j\rangle_A^{(0)},$$

где $\{|j\rangle_A^{(0)}\}$ — исходный ортонормированный базис, а $U=(u_{j,i})$ — унитарная матрица. Используйте унитарность $U$, чтобы проверить, что полный набор её столбцов задаёт ортонормированный базис. В разложении состояния нужны лишь столбцы с ненулевыми коэффициентами Шмидта.