Разложение Шмидта обнаруживает запутанность

Докажите, что чистое двусоставное состояние запутано тогда и только тогда, когда у него более одного ненулевого коэффициента Шмидта. Для нормированных $|u\rangle_A,|v\rangle_B$ покажите: если ненулевой коэффициент один, то

$$\max_{u,v}|\langle u|\langle v|\phi\rangle|^2=1;$$

если их больше одного, то

$$\max_{u,v}|\langle u|\langle v|\phi\rangle|^2<1.$$

Используйте $|\phi\rangle=\sum_i\lambda_i|i\rangle_A|i\rangle_B$, $\lambda_i>0$, $\sum_i\lambda_i^2=1$, и неравенство Коши—Буняковского.