Единичная чистота и чистое состояние

Чистота матрицы плотности определена как $P(\rho)=\operatorname{Tr}(\rho^2)$. Докажите, что $P(\rho)=1$ тогда и только тогда, когда $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ для некоторого нормированного $|\psi\rangle$.

Матрица плотности эрмитова, положительна полуопределённо и имеет след 1.