Вектор Блоха смеси чистых состояний

Чистые состояния $|\psi_j\rangle$ имеют векторы Блоха $\mathbf r_j$ и выбираются с вероятностями $p(j)$. Покажите, что вектор Блоха смеси равен $\mathbf r=\sum_jp(j)\mathbf r_j$.

Запись вектора Блоха означает $|\psi_j\rangle\langle\psi_j|=(I+r_{j,x}X+r_{j,y}Y+r_{j,z}Z)/2$, где $X,Y,Z$ — матрицы Паули.