Сложение вероятностей ортогональных событий

В общем ортонормированном базисе $\rho=\sum_xp_x|x\rangle\langle x|$ и $\Pi(A)=\sum_{x\in A}|x\rangle\langle x|$. Пусть $\Pi(A)\Pi(B)=0$. Покажите

$$\operatorname{Tr}[\Pi(A\cup B)\rho]=\Pr(A)+\Pr(B),$$

где $\Pr(A)=\operatorname{Tr}[\Pi(A)\rho]$, аналогично для $B$.