Пересечение событий через произведение проекторов

Пусть $\rho=\sum_xp_x|x\rangle\langle x|$, а проекторы $\Pi(A)=\sum_{x\in A}|x\rangle\langle x|$ и $\Pi(B)=\sum_{x\in B}|x\rangle\langle x|$ диагональны в том же базисе. Покажите

$$\operatorname{Tr}[\Pi(A)\Pi(B)\rho]=\Pr(A\cap B),$$

где $\Pr(C)=\sum_{x\in C}p_x$.