Оценка вероятности объединения для коммутирующих проекторов

Пусть $\Pi_1,\Pi_2$ — коммутирующие проекторы, а $\rho$ — произвольная матрица плотности. Докажите

$$\begin{aligned}&\operatorname{Tr}[(I-\Pi_1\Pi_2)\rho]\\\le{}&\operatorname{Tr}[(I-\Pi_1)\rho]\\&+\operatorname{Tr}[(I-\Pi_2)\rho].\end{aligned}$$

Не требуется, чтобы $\rho$ была диагональна в общем базисе проекторов.