Верхняя граница вероятности распознавания состояний

Дан ансамбль $\{p_X(x),\rho_x\}$ и обобщённое измерение с положительными элементами $\Lambda_x$, сумма которых $I$. Средняя вероятность правильно распознать состояние равна

$$p_{\rm succ}=\sum_xp_X(x)\operatorname{Tr}(\Lambda_x\rho_x).$$

Пусть оператор $\tau$ удовлетворяет $\tau\ge p_X(x)\rho_x$ для каждого $x$, то есть все разности положительны полуопределённо. Покажите $p_{\rm succ}\le\operatorname{Tr}\tau$.

Примените результат к равновероятному кодированию $n$ классических битов состояниями в пространстве размерности $d$ и получите $p_{\rm succ}\le d\,2^{-n}$.