Локальные состояния при условительном приготовлении

Сначала выбирается $Z$ с распределением $p_Z(z)$, а затем независимо при данном $z$ выбираются $X,Y$ с распределениями $p_{X|Z},p_{Y|Z}$. Алиса готовит $|\psi_{x,z}\rangle$, Боб — $|\phi_{y,z}\rangle$. Обозначим

$$\rho_z=\sum_xp_{X|Z}(x|z)|\psi_{x,z}\rangle\langle\psi_{x,z}|,$$

$$\sigma_z=\sum_yp_{Y|Z}(y|z)|\phi_{y,z}\rangle\langle\phi_{y,z}|.$$

Покажите, что при игнорировании Боба локальное состояние Алисы равно

$$\mathbb E_{X,Y,Z}[|\psi_{X,Z}\rangle\langle\psi_{X,Z}|]=\sum_zp_Z(z)\rho_z.$$

Аналогично локальное состояние Боба равно $\sum_zp_Z(z)\sigma_z$.