Разложение сепарабельного состояния на чистые произведения

Сепарабельное состояние имеет вид

$$\rho_{AB}=\sum_zp_Z(z)\rho_A^z\otimes\sigma_B^z,$$

где $p_Z$ — вероятности, а $\rho_A^z,\sigma_B^z$ — матрицы плотности. Покажите, что его всегда можно записать как выпуклую комбинацию чистых состояний-произведений:

$$\rho_{AB}=\sum_wp_W(w)|\phi_w\rangle\langle\phi_w|\otimes|\psi_w\rangle\langle\psi_w|.$$