Частичный след сохраняет допустимость состояния

Пусть $\rho_{AB}$ — матрица плотности двусоставной системы. Докажите, что $\rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB}$ также является матрицей плотности: положительна полуопределённо и имеет след 1.

Частичный след по $B$ определён в ортонормированном базисе $\{|k\rangle_B\}$:

$$\operatorname{Tr}_B T=\sum_k(I_A\otimes\langle k|)T(I_A\otimes|k\rangle).$$