Частичный след элементарного тензорного оператора

Для ортонормированного базиса $\{|i\rangle_B\}$ покажите, что

$$T=|x_1\rangle\langle x_2|_A\otimes|y_1\rangle\langle y_2|_B$$

удовлетворяет

$$\operatorname{Tr}_B T=|x_1\rangle\langle x_2|_A\langle y_2|y_1\rangle,$$

и что этот результат согласуется с определением частичного следа как суммы $\sum_i(I_A\otimes\langle i|)T(I_A\otimes|i\rangle)$.