Маргинальное распределение как частичный след

Совместное распределение закодировано состоянием

$$\rho=\sum_{x,y}p_{X,Y}(x,y)|x\rangle\langle x|\otimes|y\rangle\langle y|,$$

где оба набора $|x\rangle,|y\rangle$ — ортонормированные базисы. Покажите, что частичный след по второй системе даёт

$$\operatorname{Tr}_Y\rho=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|,$$

где $p_X(x)=\sum_yp_{X,Y}(x,y)$.

Частичный след по $B$ определён в ортонормированном базисе $\{|k\rangle_B\}$:

$$\operatorname{Tr}_B T=\sum_k(I_A\otimes\langle k|)T(I_A\otimes|k\rangle).$$