Чистота части максимально запутанного состояния

Пусть

$$|\Phi\rangle_{AB}=\frac1{\sqrt d}\sum_{j=0}^{d-1}|j\rangle_A|j\rangle_B,$$

и $\rho_A=\operatorname{Tr}_B(|\Phi\rangle\langle\Phi|)$. Докажите, что чистота $\operatorname{Tr}(\rho_A^2)$ равна $1/d$, где $d$ — размерность $A$.

Частичный след по $B$ определён в ортонормированном базисе $\{|k\rangle_B\}$:

$$\operatorname{Tr}_B T=\sum_k(I_A\otimes\langle k|)T(I_A\otimes|k\rangle).$$