Сепарабельное состояние Чоя разрушает запутанность

Квантовый канал $\mathcal N_{A\to B}$ полностью положителен и сохраняет след. Пусть

$$|\Phi\rangle_{RA}=\frac1{\sqrt{d_A}}\sum_{i=0}^{d_A-1}|i\rangle_R|i\rangle_A.$$

Докажите: если $(\operatorname{id}_R\otimes\mathcal N)(|\Phi\rangle\langle\Phi|)$ сепарабельно, то канал разрушает запутанность — для любого состояния $\rho_{SA}$ выход $(\operatorname{id}_S\otimes\mathcal N)(\rho_{SA})$ сепарабелен по $S:B$.

Сепарабельность означает выпуклую смесь состояний-произведений. Подсказка: используйте разложение сепарабельного состояния на чистые произведения и восстановите операторы Крауса из состояния Чоя.