Общий канал Паули на шаре Блоха

Канал Паули имеет вид

$$\begin{aligned}\mathcal P(\rho)={}&p_I\rho+p_XX\rho X\\&+p_YY\rho Y+p_ZZ\rho Z,\end{aligned}$$

где веса неотрицательны и суммируются в 1. Проверьте

$$r_x\mapsto(p_I+p_X-p_Y-p_Z)r_x,$$

$$r_y\mapsto(p_I+p_Y-p_X-p_Z)r_y,$$

$$r_z\mapsto(p_I+p_Z-p_X-p_Y)r_z.$$

Матрица кубита записана как $\rho=(I+r_xX+r_yY+r_zZ)/2$, где $X,Y,Z$ — матрицы Паули.

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},$$

$$Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},$$

$$Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$