Равномерное усреднение кудита

В базисе $|j\rangle$, $j=0,\ldots,d-1$, определены

$$X(i)|j\rangle=|j\oplus i\rangle,$$

$$Z(k)|j\rangle=e^{2\pi ikj/d}|j\rangle,$$

где $\oplus$ — сложение по модулю $d$. Докажите, что равномерное применение операторов $X(i)Z(k)$ к любой матрице плотности кудита даёт полностью смешанное состояние:

$$\begin{aligned}&\frac1{d^2}\sum_{i,k=0}^{d-1}X(i)Z(k)\rho Z(k)^\dagger X(i)^\dagger\\={}&\frac Id.\end{aligned}$$

Подсказка: рассмотрите последовательное полное дефазирование в вычислительном и сопряжённом базисах.