Очищение спектральной смеси

Пусть $\rho_A=\sum_xp_X(x)|x\rangle\langle x|_A$ — спектральное разложение. Покажите, что

$$|\psi\rangle_{RA}=\sum_x\sqrt{p_X(x)}|x\rangle_R|x\rangle_A$$

является очищением $\rho_A$, если $\{|x\rangle_R\}$ — ортонормированный набор.

Очищение $\rho_A$ — нормированный чистый вектор на большей системе $R\otimes A$, частичный след которого по $R$ равен $\rho_A$.