Вентиль Фредкина с поправкой фаз

Вентиль Фредкина выполняет управляемый SWAP трёх битов: если третий бит равен 1, первые два меняются местами; если третий бит равен 0, все биты остаются неизменными. Здесь управляющим служит третий бит, а не первый, как в распространённом соглашении. Таблица истинности:

$$\begin{array}{c|c} \mathrm{IN}&\mathrm{OUT}\\ 000&000\\001&001\\010&010\\011&101\\ 100&100\\101&011\\110&110\\111&111 \end{array}$$

Консервативный квантовый вентиль сохраняет число кубитов в состоянии $|1\rangle$, то есть коммутирует с наблюдаемой, считающей число $|1\rangle$.

Перемножьте некоторые вентили из задачи (2), чтобы построить квантовый вентиль $\widetilde F$, действующий на биты в вычислительном базисе так же, как вентиль Фредкина, но, возможно, с другими фазами. Его матрица размера $8\times8$ должна совпадать с матрицей Фредкина, кроме замены некоторых элементов $+1$ другими комплексными числами единичного модуля. Покажите, что умножением на диагональную унитарную матрицу размера $8\times8$ можно получить из $\widetilde F$ вентиль Фредкина. Если вы сразу построили его со всеми правильными фазами, последний шаг можно пропустить.

Подсказка: может пригодиться квадратный корень из SWAP или из $D\,\mathrm{SWAP}$ для некоторой диагональной унитарной матрицы $D$. Можно ли объединить два таких корня с другими двухкубитными вентилями так, чтобы при третьем кубите 1 выполнялся SWAP, а при третьем кубите 0 — диагональная матрица?

Задача (2), на которую ссылается условие:

Найдите консервативные двухкубитные квантовые вентили. Вентили, меняющие только фазы, то есть диагональные унитарные матрицы, консервативны, как и SWAP. Найдите более широкий класс таких вентилей. Найдите квадратный корень из SWAP.