Диагональные трёхкубитные фазовые преобразования

Вентиль Фредкина выполняет управляемый SWAP трёх битов: если третий бит равен 1, первые два меняются местами; если третий бит равен 0, все биты остаются неизменными. Здесь управляющим служит третий бит, а не первый, как в распространённом соглашении. Таблица истинности:

$$\begin{array}{c|c} \mathrm{IN}&\mathrm{OUT}\\ 000&000\\001&001\\010&010\\011&101\\ 100&100\\101&011\\110&110\\111&111 \end{array}$$

Консервативный квантовый вентиль сохраняет число кубитов в состоянии $|1\rangle$, то есть коммутирует с наблюдаемой, считающей число $|1\rangle$.

Какие диагональные трёхкубитные матрицы можно получить, комбинируя двухкубитные диагональные унитарные матрицы, то есть вентили, меняющие только фазы? Покажите, что добавление вентилей с диагональными элементами $1,1,e^{i\theta},1,e^{i\theta},1,1,1$ позволяет получить все диагональные трёхкубитные вентили.

Авторская поправка: оба экспоненциальных множителя должны быть $e^{i\theta}$. Из-за прежней ошибки последующая задача 5 отменена.