Плотное кодирование на трёхуровневых системах

Обобщите плотное кодирование на трёхмерные квантовые состояния — кутриты. Пусть $|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle$ — их ортонормированный базис. Алиса и Боб разделяют состояние

$$|\mathrm{EPR}_3\rangle=\frac1{\sqrt3}(|00\rangle+|11\rangle+|22\rangle).$$

Покажите, что существуют девять унитарных операций со следующим свойством: Алиса применяет одну из них к своей части $|\mathrm{EPR}_3\rangle$ и передаёт получившийся кутрит Бобу; измерив два имеющихся у него кутрита, Боб с определённостью узнаёт выбранную операцию. Таким образом, в одном кутрите кодируется $\log_2 9$ бит.

Подсказка: определите

$$T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\omega&0\\0&0&\omega^2\end{pmatrix},$$

где $\omega=e^{2\pi i/3}$. Степени $R^aT^b$ при $0\leq a,b\leq2$ играют роль матриц Паули, а состояния $(R^aT^b\otimes I)|\mathrm{EPR}_3\rangle$ заменяют базис Белла. Докажите, что эти состояния образуют ортонормированный базис пространства двух кутритов.