Матрицы Паули как повороты кубита

(a) Проверьте, что для $i\in\{X,Y,Z\}$ оператор $\sigma_i$ эквивалентен повороту на $\pi$ вокруг оси $i$ в правой системе координат. Найдите его действие на $|0\rangle$, $|1\rangle$, $|+\rangle$, $|-\rangle$, $|\otimes\rangle$ и $|\odot\rangle$.

(b) Покажите, что $\sigma_X^2=\sigma_Y^2=\sigma_Z^2=I$.

(c) Покажите, что $\sigma_X\sigma_Y=i\sigma_Z$, $\sigma_Y\sigma_Z=i\sigma_X$ и $\sigma_Z\sigma_X=i\sigma_Y$.

(d) Проверьте $\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=0$ при $i,j\in\{X,Y,Z\}$ и $i\ne j$.

Определения состояний и матриц из официального разбора:

$$|0\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad|1\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},$$

$$|+\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2},\qquad |-\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2},$$

$$|\otimes\rangle=\frac{|0\rangle+i|1\rangle}{\sqrt2},\qquad |\odot\rangle=\frac{|0\rangle-i|1\rangle}{\sqrt2}.$$

$$\sigma_X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \sigma_Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\qquad \sigma_Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$